Yon nòt sou sansiblite varyab, papòt iminite twoupo a ak modèl maladi enfeksyon

Résumé

Te trè difisil pou prevwa dewoulman pandemi COVID-19 lè l sèvi avèk modèl matematik pou maladi enfeksyon. Pandan ke yo te demontre ke varyasyon nan sansiblite gen yon efè amortissement sou kantite kle tankou pik ensidans lan, papòt iminite bann bèt yo, ak gwosè final la nan pandemi an, fenomèn konplèks sa a prèske enposib pou mezire oswa quantifier, epi li rete klè. ki jan yo enkòpore li pou modèl ak prediksyon. Nan travay sa a, nou montre ke, nan yon pèspektiv modélisation, varyasyon nan sansiblite sou yon nivo endividyèl ekivalan a yon fraksyon θ nan popilasyon an ki gen yon "atifisyèl" iminite esterilize. Nou jwenn tou nouvo fòmil pou papòt iminite twoupo yo ak gwosè final pandemi an epi nou montre ke valè sa yo pi ba anpil pase fòmil klasik yo prevwa, an prezans sansiblite varyab. Nan ka patikilye SARS-CoV-2, kounye a gen yon sansibilite varyab akòz diminye iminite nan tou de vaksen ak enfeksyon anvan yo, epi rezilta nou yo ka itilize pou senplifye modèl anpil. Si varyasyon sa yo te prezan tou anvan premye vag la, jan sa endike nan yon kantite etid, rezilta sa yo ka ede eksplike poukisa grandè vag inisyal SARS-CoV-2 yo te relativman ba, konpare ak sa yon moun kapab. te espere baze sou modèl estanda.

cistanche tubulosa-amelyore sistèm iminitè

1. Entwodiksyon

Depi zèv fondamantal Kermack ak McKendrick [1–3] modèl matematik konpatiman (tankou SIR, SEIR, elatriye) yo itilize pou modèl pwopagasyon maladi enfeksyon. Pami lòt bagay, papye sa yo te entwodui valè R0-pi popilè kounye a epi yo te montre ke kontrèman ak entwisyon imen an, maladi enfektye p ap janm enfekte tout popilasyon an, kèlkeswa jan enfektye. Olye de sa, ensidans la pral kòmanse pouri lè fraksyon nan refè a rive nan sa yo rele "Papòt iminite bann bèt yo", pou ki yo te dedwi fòmil la pi popilè Sepandan, anvan pandemi SARS-CoV-2, pa t gen okenn done serye ki soti nan yon viris roman (ki afekte moun) sou ki prediksyon sa a ta ka teste. Malerezman, sa a rete lajman, paske egzanp fèmen pòt ak izolasyon volontè (ki modèl yo pa ka predi) te gen yon gwo efè sou pwopagasyon an. Malgre sa, done ki soti nan kote tankou Syèd, ki te fè relativman ti kras pou sispann transmisyon kominote a, endike ke modèl matematik yo gen yon tandans ègzajere grandè vag la pandan yon gwo epidemi [4]. Plizyè faktè yo konnen yo gen yon efè tranpaj sou koub modèl yo. Youn nan egzanp sa yo se sansiblite varyab, gade egzanp Ch. 1 ak 3 nan [5], ak atik yo [6–9]. Pa sansiblite varyab, nou isit la refere a diferans (tan-invariant) ant moun ki gen pwobabilite pou yo vin enfekte, bay yon sèten ekspoze a viris la, kòm opoze a varyasyon endividyèl sou tan. Rezilta menm jan an tou te etabli nimerik pou lòt heterogeneities, tankou laj ak aktivite [10]. Kiryozite, enfeksyon varyab (super-spreaders) pa gen okenn efè tranpaj sou pwopagasyon an pandan yon gwo epidemi [11]. Nan nenpòt ka, konklizyon sa yo sòti lè l sèvi avèk agiman euristik oswa pa senpleman teste modèl ki enpòtan, ak mekanis ki dèyè fenomèn sa yo rete mal konprann. An patikilye, piske varyasyon nan sansiblite se nòmalman enposib pou quantifier, li pa klè ki jan yo enkòpore li avèk efikasite nan modèl yo, se poutèt sa prediksyon vag COVID-19 lavni, oswa pwochen pandemi an, kontinye ap yon gwo defi.

cistanche tubulosa-amelyore sistèm iminitè

Konkrètman, sipoze yon nouvo maladi enfektye, ki gen dinamik transmisyon enplike gwo varyasyon nan enfeksyon ak/oswa sansiblite, yo prezante nan yon rezo ki byen konekte tankou yon gwo vil, epi sipoze yon gwo epidemi pral pran plas. Lè sa a, yon moun ka estime R0, sa vle di yon estimasyon ki graj sou kantite mwayèn nouvo enfeksyon yon sèl enfeksyon bay, apati seri done premye ka yo, lè l sèvi avèk egzanp EpiEstim [12] oswa [13]. Pa yon etid trase kontak, yon moun ka tou estime tan jenerasyon Jenerasyon an, ki se lòt paramèt ki nesesè pou kouri yon modèl SIR. Nan yon senaryo konsa, yon moun ka poze kesyon an si pwodiksyon an nan yon senp simulation SIR se yon bon apwoksimasyon premye lòd nan sa ki pral vini, nan absans la nan entèvansyon ki pa pharmaceutique. Èske fòmil (1) la se yon bon endikatè ki lè nou ka atann epidemi an kòmanse bese? Dapre done ki soti nan Syèd pandan pandemi COVID-19, repons lan sanble se non, gade [4] kote yo montre ke ensidans la te tonbe, san atann, nan nivo seroprevalans pi ba anpil pase (1) prevwa. Nan syans teyorik anvan yo sou sijè sa a, atik ki pi pre reponn kesyon ki anwo yo se Britton et. al. [10], kote otè yo pwouve ke varyasyon nan modèl aktivite yo ka siyifikativman bese papòt iminite bann bèt yo, an konparezon ak estimasyon klasik ki baze sou (1). Yon piblikasyon ki pi ansyen ak yon mesaj menm jan an se [14]. Sepandan, konklizyon sa yo se obsèvasyon anpirik ki baze sou modèl ki te bati pou enkòpore eterojenite popilasyon an. Efè tranpaj sa a pa te etabli matematikman epi li rete klè ki jan, ak nan ki nivo, diferan eterojenite yo manifeste. An patikilye, li rete klè ki jan yo predi pi byen papòt iminite bann bèt yo. Nou fè remake ke, nan ka SARS-CoV-2, yo montre yon kantite faktè tankou jenetik, iminite kwa-reyaktif, ak iminite natirèl, yo te montre yo bay varyasyon nan sansiblite [15-18].

cistanche tubulosa-amelyore sistèm iminitè

Klike la a pou w wè pwodwi Cistanche Enhance Immunity

【Mande plis】 Imèl:cindy.xue@wecistanche.com / Whats App: 0086 18599088692 / Wechat: 18599088692

1.1 Nouvo kontribisyon

Nan travay sa a, nou pwouve matematikman ke varyasyon nan sansiblite gen yon efè amortissement sou koub modèl yo, tandiske varyasyon nan enfeksyon pa fè sa (osi lontan ke li pa korelasyon ak ansyen an, gade [7]). Sa ki pi enpòtan, nou jwenn tou ke distribisyon an (anjeneral enkoni) ki dekri kijan sansiblite varye pa nesesè pou modèl egzat. Plis jisteman nou montre ke yon modèl eterojèn sansiblite pral konpòte prèske menm jan ak yon modèl SIR estanda (omojèn) kote yon pati nan popilasyon an gen iminite esterilize e ke fòm egzak distribisyon an sansiblite sèlman enfliyanse nivo iminite esterilize. Li enpòtan pou souliye ke iminite sa a sèlman egziste nan senplifikasyon modèl matematik la, epi li pa ta dwe konfonn ak iminite reyèl esterilize kèk moun. Nan lòt mo, menm si tout moun sansib a viris la (nan yon sèten degre), nan yon nivo popilasyon li pral sanble kòm si yon pati nan popilasyon an gen iminite esterilize. Nou pral refere a yon iminite sa a, ki nesesè pou modèl matematik egzat, kòm "Atifisyèl Sterilizing Iminite" (ASI), ak fraksyon nan popilasyon an ki genyen li kòm θ. Osi lontan ke θ ka estime nan done ki disponib, nou montre ke papòt iminite aktyèl la se vre pi ba pase (1) predi. Fòmil ki kòrèk la, nan prezans sansiblite varyab, se bay pa

epi menm faktè a (1 - θ) diminye gwosè final la nan pandemi an. Nou pral tou demontre nimerikman ke lòt eterojenite popilasyon, tankou sa yo konsidere pa Britton et. al. [10], gen yon efè analogue, e pakonsekan rezilta yo nan papye sa a ka itilize siyifikativman diminye kantite enkoni nan yon modèl etewojèn ki pi reyalis pou gaye maladi.

2 Matematik nan dinamik pwopaje maladi enfeksyon

Pou eksplike rezilta matematik yo, nou premye bay yon apèsi sou fason modèl debaz la ap travay. SIR la vle di Sensib, Enfektye, ak Recovered, epi li se fòm ki pi senp nan yon "modèl konpatiman" yo itilize nan epidemyoloji matematik (gade egzanp [19] pou yon entwodiksyon nan domèn sa a). Nan modèl la, S, I, ak R se fonksyon tan t, epi pou ilistre kijan sa yo gen rapò nou pral prezante tou fonksyon (redondan) ν ki dekri ensidans la, sa vle di kantite moun ki fèk enfekte chak jou (pa dwe konfonn). ak I, ki dekri prévalence a). Fòmil pou ν(t) se nan kè algorithm la, epi nan kòmansman an, nou tou senpleman gen ν(t)=I(t), kote se yon konstan ki detèmine konbyen nouvo ka yon mwayèn enfeksyon. bay monte pandan yon jounen. Si a se kantite mwayèn kontak chak jou potansyèlman enfektye yon moun mwayèn, epi p se pwobabilite pou kontak sa a aktyèlman mennen nan transmisyon, lè sa a=ap. Kòm kantite moun ki sansib piti piti diminye, nou dwe modifye sa a nan miltipliye ak fraksyon nan popilasyon an ki toujou sansib. Si popilasyon total la se N fraksyon sa a se S(t)/N epi fòmil la vin

Pou mete kanpe ekwasyon ki rete yo, nou bezwen tou tan an jenerasyon Tgeneration, sa vle di tan an mwayèn li pran soti nan enfeksyon nan rekiperasyon an. Ekwasyon ki rete yo se lè sa a

kote σ {{0}}/Tgenerasyon ak 0 endike diferansyasyon. Ekwasyon yo se entwitif fasil pou konprann, ensidans la kontinyèlman vin retire nan S epi ajoute nan I, epi an menm tan an, gen yon aktyèl nan rekipere moun ki kite I nan yon pousantaj σI ak parèt nan R olye.

Fig 1. Grafik R refè ak prévalence I. (a) Grafik refè (kòm yon fraksyon total popilasyon an) pou divès modèl SIR ak yon valè fiks R0=1.66. Premyèman, nou montre estanda SIR, Lè sa a, S-SIR, epi finalman SIR ak iminite esterilize atifisyèl (ASI) ak paramèt ki soti nan (8). Remake byen ke yo kòmanse prèske idantik men ke de lèt yo pliye anba anpil pi bonè pase premye a, ki depase papòt iminite twoupo klasik (HIT), tandiske de dezyèm yo rete byen ansanm epi nivo yo pi ba pase HIT klasik la. (b) Koub korespondan pou prévalence I (Sgraph yo montre poukont yo nan Fig 2).

SIR a, ak ekstansyon nou yo, se detèminist nan sans ke si nou kouri li de fwa, pwodiksyon an se menm. Yo kwè ke modèl sa yo travay byen pandan gwo epidemi, kote lwa sou gwo kantite aplike [5, 11]. Tout konklizyon nou yo gen rapò ak sitiyasyon sa a; pou modèl egzanp, faz inisyal la oswa transmisyon nan kay la, yo itilize lòt kalite modèl. Kondisyon inisyal ki pi natirèl pou yon nouvo maladi se mete I(0)=n kote n << N represents a small number of import cases arriving at time t = 0, and then set S(0) = N − n and R(0) = 0 (so everybody else is initially susceptible and no-one has yet recovered). The value of n is completely irrelevant to the shape of the curves that follow, a low value of n only gives the equation system a slower start so it takes a while longer for the outbreak to reach a certain value. Once this happens, the curves look the same independent of the value n. See the blue graphs in Fig 1 for some typical examples of R-curves and I-curves. In this model, R is always increasing and levels out on a number which is called "the final size of the pandemic" (see Fig 1a). S approximatively looks like N − R, since the prevalence I at any given time is small in comparison with the total population. The incidence ν typically looks just like I, albeit with a lower magnitude.

2.1 Modèl kontanporen pou COVID-19

Modèl kontanporen yo itilize pa ekip modèl pwofesyonèl yo anjeneral gen anpil plis konpatiman pase SIR, pou egzanp ki gen rapò ak stratifikasyon laj, nivo aktivite varyab, rejyon jeyografik, konpatiman pou moun ki bezwen ICU, ak konpatiman pou moun ki mouri. Pa egzanp, modèl manm ekip repons Imperial College COVID{{0}} [20] pibliye a gen nan rasin li yon SIR debaz (gade paj 9 ansanm ak Fig S2 nan materyèl siplemantè [ 20]), ak menm bagay la tou ale pou modèl la [21] itilize pa yon ekip modèl ki renome Swedish, ki jere yo anfòm lokatè a ICU ak lanmò ak gwo presizyon pandan premye vag nan Sweden. Dènye modèl la tou pran an kont divès rejyon ak modèl entèraksyon ant sa yo, men dinamik nan rejyon an se yon SEIR senp. Li se tou komen yo ajoute yon lòj E pou "Ekspoze", enkòpore tan an enkubasyon, (tankou tout bon fè nan de egzanp ki anwo yo). Sepandan, jan nou pral montre nan Seksyon 4, sa a gen yon efè limite sou konpòtman an jeneral. Pa sa, nou vle di ke, pou chak seri valè paramèt (R0, tan enkubasyon, elatriye) pou SEIR, li posib jwenn yon koub prèske idantik ak SIR (ak vis vèrsa), si nou gen dwa chanje paramèt la. valè yon ti kras. Depi valè egzak paramèt sa yo pa janm konnen, sa vle di ke pou rezon pratik yon moun ka jis konte sou SIR kòm sou SEIR, omwen pou konprann tandans jeneral. Pa egzanp, nan Figi 3 nou montre yon egzanp SEIR ak SIR ak R0-valè ki diferan de 1%, epi graf yo prèske idantik. Pou egzanp, gwosè final la nan pandemi an diferan pa mwens pase 1.5%. Anplis, konpatiman ki gen rapò ak malad grav ak lanmò tou gen yon efè majinal sou konpòtman an jeneral, tou senpleman paske sèlman yon ti fraksyon nan enfekte a pral fini nan konpatiman sa yo. Ki baze sou sa a, nou diskite ke yo konprann konpòtman an jeneral an jeneral, jan nou enterese nan isit la, li sifi pou etidye modèl SIR ki pi senp. Pou lòt tantativ pou predi/modele SARS-CoV-2 lè l sèvi avèk modèl SIR/SEIR, gade egzanp [22, 23].

Kontrèman, lòt kalite eterojenite tankou nivo aktivite varyab ak modèl entèraksyon diferan ant gwoup laj yo, gen yon efè remakab remakab sou koub modèl yo. Pou egzanp, laj-aktivite stratifye SEIR pa Britton et. al. [10] gen yon pik ensidans apeprè 35% pi ba pase SIR estanda, yo bay paramèt opinyon analòg. Sa a konsistan avèk rezilta yo nan [10], kote yo obsève yon gout nan papòt iminite twoupo a anviwon 30% pou modèl laj-aktivite, konpare ak prediksyon (1) ki baze sou SIR. Sa a pral plis diskite nan Seksyon 4.2. Epitou, sansiblite varyab gen yon gwo efè, men sa a te deja diskite nan entwodiksyon an epi yo analize plis nan Seksyon 3.

2.2 Modèl kont reyalite dezakò?

Kit modèl ki pi avanse yo dekri ak presizyon pwopagasyon COVID-19 li difisil pou detèmine, paske yon moun ka toujou diskite ke Entèvansyon ki pa famasetik (NPI), osi byen ke chanjman volontè konpòtman yo, te gen yon gwo enpak. San yo pa reklame ke yo gen yon repons definitif, ka a nan Syèd se enteresan akòz estrateji rilaks li yo, ki anplis te kenbe prèske konstan pandan 2020-2021. An patikilye, lekòl yo te kenbe louvri, moun ki pa t 'kapab travay lakay yo te ankouraje pou yo ale nan travay, manm fanmi nan kay ki enfekte yo te oblije travay oswa ale nan lekòl, ak itilizasyon gaye mask figi pa janm te aplike, ki fè peyi a ideyal. pou konpare modèl ak done aktyèl yo. Akòz tès ensifizan, seri tan ka yo gen yon valè limite, men mezi seroprevalans ki soti nan echantiyon san yo bay enfòmasyon ki gen anpil valè paske yo te etabli ke pifò moun ki gen COVID-19 kontinye devlope anti-kò tou [ 24] e ke antikò sa yo rete pou omwen 9 mwa [25, 26]. Rezilta ki te pibliye pa Ajans Sante Piblik Syèd [27] endike ke apeprè 11% te gen COVID-19 nan rejyon Stockholm apre premye vag 2020, ki te monte nan anviwon 22% nan mwa fevriye 2021, apre dezyèm vag la. Epitou nan mitan anplwaye lopital nan Sweden (ki pa itilize mask figi), prévalence a te alantou 20% [26] apre premye vag la, nan liy ak obsèvasyon ki soti nan kay ki enfekte yon lòt kote [28].

cistanche tubulosa-amelyore sistèm iminitè

Sepandan, modèl la pa Sjo¨din et. al., refere li pi bonè, predi yon kantite kimilatif moun ki enfekte nan anviwon 30% apre premye vag la, malgre sipoze yon diminisyon 56% nan kontak pami moun ki gen laj 0-59 ak yon rediksyon 98% pami moun sa yo. ki gen laj 60-79 (sa a se pou senaryo d ki byen ekipe ICU-okipasyon ak lanmò, gade Fig 2b, kenbe nan tèt ou ke rejyon an Stockholm gen 2.4 milyon moun). Sou menm liy lan, Britton et. al. [10] estime ke maladi a ta ka nivo soti nan alantou 43% total enfekte, nan yon kesyon de mwa. Pandan ke otè yo ensiste ke sa a se pa yon prediksyon reyèl, li baze sou paramèt reyalis pou COVID-19. Rapò ki pi popilè 9 pa Imperial College [29] te prevwa yon kantite total 81% enfekte nan yon senaryo "pa fè anyen", ki baze sou yon pi avanse sa yo rele "modèl ki baze sou ajan" ki trete tou kontak nan kay la separeman. Dapre Tablo 3 nan rapò a, kantite lanmò ak kapasite pik ICU ka redwi pa 50% ak 81%, respektivman, nan senaryo NPI ki pi efikas, ki sètènman ale pi lwen pase sa ki te aplike nan Sweden. Sepandan, nan mwa fevriye 2021, lè souch orijinal Wuhan an t ap bese [30], prediksyon sa yo redwi souestimasyon figi aktyèl la pa yon faktè apeprè 4 (lanmò) ak 10 (ICU) (lè yo dirèkteman tradui nan Konte Stockholm).

Fig 2. Grafik siseptib S. S–koub ki koresponn ak 3 graf ki nan Fig 1. Menm jan nan Fig 1, ble nwa a, ak woz yo te nòmalize pa divizyon pa N. Koub nwa a montre pwopòsyon total popilasyon an. sansib a viris la. Remake byen ke lè pandemi an fini, alantou 68% yo toujou sansib, nan kontras ak SIR klasik ki nivo soti nan alantou 34%. Koub woz la kòmanse sipoze 57% gen iminite esterilize atifisyèl, e pakonsekan valè inisyal li se 43% (nimewo sa a te chwazi lè l sèvi avèk fòmil (8)). Remake byen ke koub woz la sanble egzakteman tankou nwa a eksepte pou yon tradiksyon vètikal, ilistre rezilta kle yo nan atik sa a. Modèl S-SIR la gen twa sougwoup S1, S2, ak S3 ki koresponn ak p1=1 (ki gen etikèt sou "super-sansib"), p2=0.1 (ki make "nòmal"), ak p{{ 17}}.02 (ki make "byen pwoteje"). Isit la nou te nòmalize ak kantite moun ki nan chak sou-gwoup respektif, se poutèt sa tout koub kòmanse nan 1. Remake kijan gaye nan de dènye sou-gwoup yo nivo soti le pli vit ke li nivo soti nan gwoup la super sansib.

Pwen isit la se pa kritike nenpòt modèl patikilye, ak klèman, ka a nan Syèd pou kont li pa ka pwouve ke modèl yo bon oswa mal, jan mansyone okòmansman. Sepandan, dapre gwo diferans ki genyen ant done aktyèl Syèd yo ak rezilta divès kalite modèl ki dekri pi wo a, li se yon kesyon lejitim si "modèl kontanporen" gen yon tandans siyifikativman ègzajere sosyete a ak gwosè final la nan pandemi an. Nou jwenn li posib ke repons lan se wi, epi yo bay plis sipò pou ipotèz sa a nan [4]. Nan papye sa a nou demontre ke sansiblite varyab se youn faktè ki kontribye nan fenomèn sa a.

2.3 Pre-iminite, super-spreaders ak lòt inhomogeneities

Ki jan nou ka chanje sistèm ekwasyon (3) ak (4) yo nan lòd yo diminye koub yo? Opsyon ki pi senp la se sipoze ke yon sèten fraksyon θ nan popilasyon an gen yon fòm esterilize iminite pou yo pa ka enfekte pa viris la. Matematikman, sa fasil reyalize pa à inisyal kondisyon yo pou

kote ω {{0}} − θ se fraksyon okòmansman sansib. Sepandan, sa a pa trè reyalis paske iminite anjeneral pa binè, sa vle di swa 0% oswa 100% (sa yo rele iminite esterilize). Ipotèz ke kèk moun gen plis sansib pase lòt se byen lwen plis posib pase iminite binè. Nan ka patikilye SARS-CoV-2, yo te sigjere ipotèz ke sèten moun te gen yon fòm pre-iminite nan plizyè piblikasyon kòm yon eksplikasyon pou, omwen daprè kèk, vag premye enfeksyon san atann, pou egzanp [31]. Papye sa a tou bay lis yon kantite etid ki montre ke kèk moun te gen kèk a priori iminite selil T. Depi lè sa a, diferan atik te demontre divès mekanis ki fè sèten moun plis oswa mwens sansib a SARS-CoV-2, pa egzanp [15–18]. Li byen etabli tou ke nivo enfeksyon varye dramatikman, jan mansyone pi bonè (gade egzanp [32]). Anplis de sa, sa sanble pa gen rapò ak ki jan yo vin malad; anpil moun ki gen anpil chaj viral yo menm san sentòm. Nan limyè de sa, sipozisyon ki pi posib se ke fason viris la antre nan imen an sijè a gwo varyasyon endividyèl.

Pou fè yon modèl ki pi reyalis pou pwopagasyon COVID-19, oswa nenpòt maladi enfektye pou pwoblèm sa a, li rezonab pou divize konpatiman S ak I yo nan yon kantite souskonpatiman S1, . . ., SJ ak I1, . . ., IK kote moun ki nan chak lòj gen yon nivo diferan nan sansiblite/enfeksyon. Pou wè ki jan yo mete kanpe yon sistèm ekwasyon korespondan pou pwopagasyon maladi, sonje ke a se te kantite kontak chak jou pa yon sèl moun. Kounye a nou kite pjk pwobabilite pou yon kontak konsa mennen nan transmisyon lè yon moun nan Sj rankontre youn nan Ik. Ensidans la νj soti nan gwoup la Sj Lè sa a, vin

(cf (3)). Piske nou sipoze pa gen okenn korelasyon ant enfeksyon ak sansiblite, kantite total nouvo enfeksyon ν1 + . . . Lè sa a, + νJ distribye nan mitan gwoup yo I1, . . ., IK selon gwosè relatif yo. Ekwasyon ki rete yo nan (4) yo fasil modifye nan nouvo anviwònman vektè sa a, nou refere a Sek. 1 nan S1 File pou detay yo. Nan seksyon kap vini an, nou analize konpòtman sistèm ekwasyon sa a, epi nan Seksyon 4 nou diskite sou lòt ekstansyon tankou SEIR ak nivo aktivite varyab.

3 Rezilta prensipal yo

Pwen prensipal rechèch sa a se ke ekstansyon nan tou de SIR ak SEIR nan kalite ki mansyone pi wo a bay koub jeneral ki se sèlman majinal diferan de SIR debaz, bay yon nivo nan iminite esterilize atifisyèl (ASI) enkli. Premye a tout, apre yo fin mete detay yo nan Seksyon 1 nan Dosye S1 a, nou pwouve nan Pwopozisyon 1.1 ke divizyon I an nan divès sous-konpatiman pa gen okenn efè, plis sipòte konklizyon yo nan [8, 9, 11]. Nan lòt tèm, egzistans la nan "super-spreaders" pa nan okenn fason remakab afekte dinamik yo nan gaye maladi. Retire kouch konpleksite sa a, Eq (6) senplifye a

kote pj se pwobabilite pou transmisyon lè yon moun ki sansib nan gwoup Sj rankontre yon moun ki gen enfeksyon "mwayèn". Nou refere a Eq (14)-(16) nan S1 File pou sistèm ekwasyon konplè, ke nou mete etikèt sou S-SIR pou "Sensiblite-Stratifye SIR". Li se yon reyalite trè kirye ke divizyon an nan S nan subcompartments pa ka, nan kontra ak I, matematikman redwi plis nan yon sistèm ekwasyon ki pi senp. Sepandan, epi sa a se rezilta kle nan papye sa a, nou ka pwouve matematikman ke konpòtman an jeneral nan S-SIR (an tèm de prévalence I ak refè R) diferan sèlman majinal de SIR debaz (3) ak (4) lè yo enkli. ASI nan kondisyon inisyal yo, jan nou te fè nan (5). Sa a se sans nan Teyorèm 2.1, ki jwenn nan Seksyon 2 nan S1 File. Bay pwobabilite p1, . . ., pJ, teyorèm la tou bay fòmil pou valè apwopriye nan koyefisyan transmisyon an (yo itilize pou kalkile ensidans ν nan (3)) ak iminite esterilize atifisyèl θ (itilize nan kondisyon inisyal yo (5)), jan sa a:

kote ω {{0}} − θ ak wj se fraksyon popilasyon ki te fè pati Sj okòmansman an; wj=Sj(0)/N. Yo jwenn yon ilistrasyon senp rezilta sa yo nan Seksyon 1.3 nan S1 File. Li enpòtan pou nou fè atansyon ak entèpretasyon θ=1 − ω kòm yon fraksyon nan moun ki aktyèlman gen iminite esterilize, paske, an reyalite, pa gen yon divizyon nan θN iminitè ak ωN sansib, se poutèt sa nou te chwazi akwonim ASI; iminite esterilize atifisyèl. Rezilta sa yo ilistre nan Figi 1 ak 2. Remake byen ke, olye etonan, le pli vit ke gwoup sansiblite ki pi vilnerab la (ki make super-sansib nan Figi 2) fini ak nouvo moun ki ka enfekte, transmisyon nan tout lòt gwoup yo sispann. byen. Konpòtman sa a se tipik, gade S1 Fig nan Dosye S1 la pou yon egzanp ki sanble ak valè diferan. Nou te obsève menm fenomèn nan tou lè nou fè modèl ak SEIR epi tou lè nou enkli egzanp diferan gwoup laj ak nivo aktivite varyab, apre [10]; modèl ki gen anpil kouch sa yo pwodui pwodiksyon ki sanble pratikman endistenabl ak pwodiksyon SIR ak ASI, sa vle di (3)–(5). Nou kite kòm yon obsèvasyon nimerik ke nou diskite pi lwen nan Seksyon 4. An patikilye, bay yon nivo estime ASI θ nan yon sosyete, li se matematikman enposib tire nenpòt konklizyon sou konbyen nan θ ki te koze pa inhomogeneities nan laj ak konpòtman, ak konbyen ki soti nan varyasyon nan sansiblite. Dmeran, nan fen chak papye [1–3], Kermack ak McKendrick mete aksan sou ke yon feblès nan modèl yo se ke yo sipoze sansiblite inifòm, ke yo konsidere ireyèl nan anpil ka. Sepandan, sanble ke yo pa janm rive abòde pwoblèm sa a, epi nou pa jwenn yon analiz matematik solid sou fason pou fè fas ak sitiyasyon sa a yon lòt kote nan literati a tou. An patikilye, fòmil 1 - 1/R0 pou Herd-Immunity Threshold (HIT), ki soti nan papye seminè yo, ka trè byen pa kòrèk, jan yo sijere nan [10]. Nan seksyon kap vini an, nou tire yon vèsyon rafine nan fòmil sa a pran ASI an kont.

3.1 Fòmil pou R0 ak papòt iminite twoupo a

Li fasil pou w wè tan an jenerasyon Tgeneration (entwodwi anba a (3)) kowenside ak tan an mwayèn yon moun ki enfekte rete enfektye. Piske se to enfeksyon an, nou konkli ke jenerasyon R0=pou SIR estanda (3) ak (4), sipoze yon popilasyon totalman sansib. Sepandan, nan prezans ASI θ, to enfeksyon aktyèl la se sèlman (1 - θ) e pakonsekan fòmil kòrèk la pou valè R0- vin tounen.

Valè ki anwo a pou R{{0}} se valè ki ta dwe estime pa egzanp EpiEstim [12] oswa [13] nan yon seri an tan reyèl ki te pwodwi pa modèl la (3) ak (4) ak inisyal la. done (5). Matematikman, R0 defini kòm kantite nouvo enfeksyon yon moun ki enfekte bay anvan iminite maladi a kòmanse devlope. (Pou kalkile sa a, premye rezoud I 0 (t) {{10}} −σI(t), bay I (0)=1, sonje ke σ {{13} }/Tgenerasyon, ak Lè sa a, entegre ensidans ki kapab lakòz ν, jan sa bay nan (3), pandan w ap kenbe S(t) fiks nan S(0)=ωN.) Menm jan an tou, yon moun wè ke efikas R-valè a, deziye Re (t), nan modèl ki anwo a se

Tèm "iminite twoupo a" pote yon varyete de siyifikasyon [33]. Nan epidemyoloji matematik, bay yon sèten modèl ak yon nouvo viris, Papòt iminite twoupo a defini kòm kantite total enfektye ak refè ki nesesè pou reyalize Re(t0)=1. Depi

(sonje (4)), nou wè ke sa a kowenside ak pwen kote vag nan enfeksyon natirèlman kòmanse bese. Pi lwen pase pwen sa a, nenpòt ka enpòte pa pral pwovoke nouvo epidemi. Nou endike valè sa a pa HIT.

Nan modèl SIR la, yo sipoze ke moun melanje omojèn e ke moun refè yo gen antikò pwoteksyon (sa vle di iminite esterilize). Pandan ke yo konnen ke antikò diminye sou tan, omwen pou SARS-CoV-2, diminye sa a rive pi dousman pase dire yon epidemi [25], e pakonsekan dènye sipozisyon an rezonab pou diskisyon an. papòt iminite bann bèt yo nan yon peryòd tan ki pi kout. Sepandan, nou ta renmen ensiste ke diminye a vle di ke iminite bann bèt yo pa janm yon kondisyon ki estab, men yo pral fennen ak tan, e pakonsekan lefèt ke iminite twoupo yo rive nan pandan yon vag patikilye pa anpeche vag nan lavni, ki ka rive swa akòz antikò diminye oswa aparisyon nan nouvo varyant. Sipoze kounye a ke yon SIR-modèl ak yon sèten nivo ASI dekri avèk presizyon yon epidemi bay. Lè sa a, papòt iminite twoupo HIT la egal S(0)/N - S(t0)/N kote t0 se pwen tan lè papòt iminite twoupo a rive, ki ka jwenn lè w rezoud Re(t{{10}})=1. Nan lòt mo, HIT se diferans ki genyen ant fraksyon S(t0)/N nan siseptib la nan moman t0 lè yo rive nan iminite twoupo yo, ak fraksyon nan sansib okòmansman. Nan modèl SIR ak ASI, rezoud Re(t0)=1 bay ekwasyon S(t0)/N=1/

Tgenerasyon, e konsa nou dedui

kote nou te itilize fòmil (9) anvan an kòm definisyon R0. Sa a se fòmil pou papòt iminite bann bèt yo prezante nan Eq (2) nan entwodiksyon an. Li implique ke fòmil klasik (1), yo bay yon estimasyon R0 ki soti nan egzanp EpiEstim, se sou-estime papòt iminite twoupo a. Sa ki pi enpòtan, li pèmèt nou predi HIT, paske yo ka estime paramèt ASI θ=1 − ω apati done ki disponib. Ke fòmil klasik la ka twonpe yo te vize deyò anvan [14], ak yon kontribisyon ki pi resan ki endike ke HIT a ta ka siyifikativman pi ba pase valè a (1) se [10]. Travay sa yo montre sa a lè yo teste tou senpleman modèl ki enplike eterojenite (premyèman modèl melanje sosyal, pa sansiblite varyab), epi kidonk li ofri ti konsèy pou estimasyon aktyèl HIT. Fòmil (2) se, selon nou konnen, premye fwa yo bay efè sa a yon fòmil matematik. Pou rezime, nou te dedwi yon nouvo fòmil pou papòt iminite bann bèt yo nan modèl SIR ak ASI. Piske rezilta yo nan Seksyon 3 a vle di ke sa a se yon bon apwoksimasyon a SIR stratifye ak sansiblite, li swiv ke fòmil ki anwo a aplike a modèl sa a tou, ak ω bay nan (8). Nan Seksyon 4 nou demontre nimerikman ke menm konklizyon an sanble vrè tou pou lòt eterojenite, e pakonsekan fòmil la ka yon pi bon altènatif pou estime papòt iminite twoupo a pi jeneral (si sipoze ke valè θ ka dedwi apati done ki disponib yo). ). Li enpòtan pou sonje ke (10) aplike anba sipozisyon ke iminite reyalize pa gaye natirèl. Papòt iminite twoupo pou vaksinasyon an toujou bay fòmil klasik (1) (si vaksen an bay iminite esterilize), ki montre nan Seksyon 1.2 Dosye S1 la. Sa a endike ke li pi difisil pou reyalize iminite twoupo pa vaksinasyon, men plis travay bezwen etabli rezilta sa yo nan pratik.

3.2 Amortissement ak gwosè final la nan pandemi an

Kòm mansyone pi bonè, plizyè travay te etabli ke sansiblite varyab gen yon efè tranpaj sou prévalence la. Pa rezilta CI-dessus yo, sa kapab kounye a être quantifiée. Sipoze ð~S; ~mwen; ~ RÞ se yon solisyon SIR nan yon popilasyon omojèn ak totalman sansib (donk ~Sð{{0}}Þ ¼ N), epi kite ~a se to transmisyon ki koresponn lan. Bay yon valè fiks ASI θ, li fasil pou wè ke ðS; mwen; RÞ ¼ ðo~S; o ~ mwen; o~ RÞ se yon solisyon pou (3)–(5), kote ω=1 − θ ak yon ¼ ~a=o. Pakonsekan efè ASI se reyèlman pa gen anyen men yon re-echèl koub SIR estanda. Remake byen ke re-echèl pa chanje valè R0, ki akòz fòmil (9) bay pa jenerasyon ¼ ~aTgeneration nan tou de ka yo. Se byen li te ye ke gwosè final la nan pandemi an ~p ¼ ~ Rð1Þ=N nan SIR abityèl la (kòm byen ke SEIR) yo bay lè w rezoud 1.

Pakonsekan, an konbinezon ak rezilta prensipal nou an sou rediksyon SIR nan Sensibilite-Stratifye a SIR ak ASI, nou dedwi ke solisyon an pi wo a π se yon bon apwoksimasyon nan gwosè final la nan pandemi pou S-SIR ak ω bay pa (8) .

4 Ekstansyon pou plis modèl jeneral

Pou yon maladi tankou COVID-19, ak yon peryòd enkubasyon kout ki te swiv pa yon peryòd enfeksyon menm pi kout, gen sèlman yon diferans majinal ant modèl lè l sèvi avèk SIR ak lè l sèvi avèk SEIR, e pakonsekan nou kwè ke konklizyon prensipal yo nan papye sa a pwolonje. nan modèl sa a tou. Menm jan an tou, nou te jwenn nimerik ke modèl SEIR ki pi avanse ki pran laj varyab ak nivo aktivite an kont, konpòte menm jan ak SIR si nou enkòpore ASI. Nou kite verifikasyon fòmèl obsèvasyon sa yo kòm yon konjekti louvri epi nou kontante nou ak montre kèk egzanp.

4.1 SEIR

SEIR gen de paramèt kle apa de R0, sètadi Tinfectious ak Tincubation, kote premye a se tan an mwayèn ke yon moun enfekte ak dènye a se tan an depi lè yon moun vin enfekte jiskaske li oswa li vin enfekte. Estimasyon pou sa yo varye, nou isit la swiv Britton et. al. [10] epi mete Tincubation=4 ak Tiinfectious=3. Lè sa a, li swiv ke tan an jenerasyon egal

kote tan jenerasyon an se tan an mwayèn li pran depi yon moun vin enfekte jiskaske moun sa a enfekte lòt moun (gade Eq (5) nan materyèl siplemantè a [30] pou yon derivasyon fòmèl). Remake byen ke sa a ki konsistan avèk chwa Tgeneration nan seksyon anvan yo. Rezon ki fè SEIR ak SIR bay pwodiksyon prèske idantik pou COVID-19 se ke tou de yo prensipalman detèmine pa valè Jenerasyon ak R0. Sa vle di, pandan yon gwo epidemi, li pa enpòtan si yon moun malad pandan 7 jou epi li enfekte R0 moun pandan 7 jou sa yo, oswa si li sibi enkubasyon pou 4 jou epi apre sa li enfekte R{{11} } moun pandan 3 jou ki rete yo. Kòm yon egzanp, konsidere Fig 3(a); nou wè yon konpòtman ki sanble anpil lè nou chwazi paramèt pou SIR ak SEIR an akò ak fòmil ki anwo yo (ak R0 fiks). Anplis, lè yo pèmèt paramèt gratis, SIR ka konpòte prèske menm jan ak SEIR (menm san yo pa enplike ASI). Pou sipòte reklamasyon sa a, se pa sipèpoze prèske pafè ant koub yo ble ak nwa nan Fig 3, yo te jwenn nan kenbe Rejenerasyon fiks ak modifye R0 pa yon pousan. Piske valè egzak pou paramèt antre yo pa konnen an reyalite, nou diskite ke li pa enpòtan si yon moun sèvi ak SIR oswa SEIR, omwen pou modèl SARS-CoV-2 ak viris ki gen karakteristik menm jan an. Se poutèt sa, obsèvasyon yo nan papye sa a ta dwe pwolonje nan SEIR tou, menm si nou pa te kapab etabli sa a matematikman.

4.2 Modèl eterojèn

Sansiblite varyab se pa sèl kalite eterojenite popilasyon ki ta ka manifeste tèt li kòm ASI sou yon nivo macro. Nan [10] otè yo devlope yon modèl SEIR heterogeneous pran modèl entèraksyon varyab ant diferan gwoup laj an kont, osi byen ke lefèt ke moun nan chak gwoup laj gen diferan kantite kontak. Nou aplike modèl yo ak Lè sa a, chache paramèt pou SIR ak ASI ki ta bay yon pwodiksyon menm jan an. Rezilta a wè nan Fig 3(b). Yon fwa ankò, diferans lan tèlman bon ke li ta enposib tach nan pratik. Koulye a, sa ki ka parèt kòm yon sèten nivo nan popilasyon (pre-)iminite nan modèl matematik yo ka, an reyalite, yon melanj de eterojenite popilasyon divès kalite, nan ki sansiblite varyab se sèlman yon engredyan.

Fig 3. Apwoksimasyon lè l sèvi avèk SIR ak ASI. (a) SEIR ak R0=1.66 ak Tinfectious + Tinfectious=7 (ble), SIR ak menm R0 ak Tgeneration=7 (wouj), epi finalman SIR ak yon 1% pi ba R0, menm Tgeneration (nwa). (b) Laj-aktivite stratifye SEIR ak R{{10}}.66 ak Tinfectious + Tinfectious=7 (ble); SIR itilize menm Tgeneration men yon ASI de 25% ak yon ti kras diferan R0 (nwa).

5 Diskisyon

Ka gen anpil rezon ki fè sèten moun gen plis sansib pase lòt moun nan enfeksyon pa yon viris roman, sòti nan iminite natirèl ak adaptasyon iminite kwa-reyaktif nan lòt viris li te ye ak diferans jenetik. Pou yon maladi roman, esterilize pre-iminite, sa vle di moun ki konplètman iminitè san yo pa janm gen viris la, gen plis chans pa egziste. Pwen kle nan etid sa a se ke esterilize iminite endividyèl pa nesesè yo nan lòd yo obsève sa ki sanble ak esterilize iminite sou yon nivo popilasyon, ke nou te envante ASI; iminite esterilize atifisyèl. Nou montre matematikman ke, pou nou gen ASI, nou sèlman bezwen varyasyon modere nan sansiblite. Anplis, nou demontre nimerikman ke lòt kalite eterojenite popilasyon, tankou modèl varyab melanje sosyal, tou manifeste tèt yo kòm ASI.

cistanche plant-ogmante sistèm iminitè

Konklizyon yo nan papye sa a pa limite tèt yo a SARS-CoV-2 men fondamantalman montre ke fòmil klasik pou papòt iminite twoupo yo ak modèl yo pou pwopagasyon maladi enfektye ak rasin nan pi popilè papye Kermack ak McKendrick [1 ] yo pa kapab modle nenpòt maladi enfektye sijè a gwo varyasyon nan sansiblite, epi yo bezwen modifye jan sa dekri nan Seksyon 3.1. Estimasyon HIT papòt iminite twoupo a enpòtan anpil pou jesyon efikas ak planifikasyon kontwòl maladi. Pou egzanp, si yon sosyete deside fè yon fèmen pòt anvan HIT yo rive jwenn, li prèske sèten ke maladi a pral re-ap parèt sof si NPI yo kenbe endefiniman. Fòmil klasik (1) yo toujou itilize anpil, malgre lefèt ke li konnen yo konte sou yon kantite sipozisyon ki senplifye twòp ki ka mennen nan yon endikasyon inègza. Nou te etabli yon nouvo fòmil ke nou pwouve aplike lè sansiblite varyab prezan. Piske nou montre ke modèl senplifye nou an, SIR ak ASI, sanble tou yon bon ranplasan pou modèl ki enplike modèl varyab melanje sosyal, li posib ke (2) aplike plis jeneralman pase sa nou kapab pwouve matematikman.

Referans

1. Kermack WO, McKendrick AG. Yon kontribisyon nan teyori matematik epidemi yo. Proceedings of the Royal Society of London Seri A, ki gen papye ki gen yon karaktè matematik ak fizik. 1927; 115(772):700–721.

2. Kermack WO, McKendrick AG. Kontribisyon nan teyori matematik epidemi II. Pwoblèm nan endemisite. Pwosedi nan Royal Society of London Seri A, ki gen papye ki gen yon karaktè matematik ak fizik. 1932; 138(834):55–83.

3. Kermack WO, McKendrick AG. Kontribisyon nan teyori matematik epidemi III. Plis etid sou pwoblèm nan andemisite. Pwosedi nan Royal Society of London Seri A, ki gen papye nan yon karaktè matematik ak fizik. 1933; 141(843):94–122.

4. Carlsson M, So¨derberg-Naucle´r C. COVID-19 modèl rezilta kont reyalite nan Sweden Viris 2022, 14(8), MDPI https://doi.org/10.3390/v14081840 PMID: 36016462

5. Diekmann O, Heesterbeek H, Britton T. Zouti matematik pou konprann dinamik maladi enfeksyon. Nan: Zouti Matematik pou Konprann Dinamik Maladi Enfektye. Princeton University Press; 2012.

6. Gerasimov A, Lebedev G, Lebedev M, Semenycheva I. COVID-19 dynamics: a heterogeneous model. Fwontyè nan Sante Piblik. 2021; 8:911. https://doi.org/10.3389/fpubh.2020.558368 PMID: 33585377

7. Hickson R, Roberts M. Ki jan eterojenite popilasyon an nan sansiblite ak enfeksyon enfliyanse dinamik epidemi. Jounal Biyoloji teyorik. 2014; 350:70–80. https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2014.01.014 PMID: 24444766

8. Miller JC. Gwosè epidemi ak pwobabilite nan popilasyon ki gen enfeksyon eterojèn ak sansiblite. Revizyon fizik E. 2007; 76(1):010101. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.76.010101 PMID: 17677396

9. Miller JC. Yon nòt sou derivasyon nan gwosè final epidemi yo. Bilten Biyoloji Matematik. 2012; 74 (9):2125–2141. https://doi.org/10.1007/s11538-012-9749-6 PMID: 22829179

10. Britton T, Ball F, Trapman P. Yon modèl matematik revele enfliyans eterojenite popilasyon an sou iminite twoupo yo kont SARS-CoV-2. Syans. 2020; 369(6505):846–849. https://doi.org/10.1126/ science.abc6810 PMID: 32576668

11. Rousse F, et al. Wòl super-epandan yo nan modèl SARS-CoV-2. Modeling Maladi Enfektye (2022). https://doi.org/10.1016/j.idm.2022.10.003 PMID: 36267691

12. Thompson R, Stockwin J, van Gaalen RD, Polonsky J, Kamvar Z, Demarsh P, et al. Amelyore enferans nan nimewo repwodiksyon ki varye nan tan pandan epidemi maladi enfeksyon. Epidemi. 2019; 29:100356. https://doi.org/10.1016/j.epidem.2019.100356 PMID: 31624039

13. Cori A, Ferguson NM, Fraser C, Cauchemez S. Yon nouvo fondasyon ak lojisyèl pou estime nimewo repwodiksyon ki varye nan tan pandan epidemi. Jounal Ameriken epidemyoloji. 2013; 178(9):1505–1512. https://doi.org/10.1093/aje/kwt133 PMID: 24043437

14. Fox JP, Elveback L, Scott W, Gatewood L, Ackerman E. Iminite twoupo: konsèp debaz ak enpòtans nan pratik vaksen sante piblik. Jounal Ameriken epidemyoloji. 1971; 94(3):179–189. https://doi.org/10.1093/oxfordjournals.aje.a121310 PMID: 5093648

15. Dee K, Goldfarb DM, Haney J, Amat JA, Herder V, Stewart M, et al. Enfeksyon rhinoviris imen bloke replikasyon SARS-CoV-2 nan epithelium respiratwa a: enplikasyon pou epidemyoloji COVID-19. Journal of Enfektye Maladi. 2021. https://doi.org/10.1093/infdis/jiab147 PMID: 33754149

16. Ng KW, Faulkner N, Cornish GH, Rosa A, Harvey R, Hussain S, et al. Iminite umoral ki deja egziste ak de novo kont SARS-CoV-2 nan imen. Syans. 2020; 370(6522):1339–1343. https://doi.org/10.1126/ science.abe1107 PMID: 33159009

17. Zeberg H, Pa¨a¨bo S. Yon rejyon jenomik ki asosye ak pwoteksyon kont grav COVID-19 eritye nan men Neandertal. Pwosedi Akademi Nasyonal Syans yo. 2021; 118(9). https://doi.org/10. 1073/pans.2026309118 PMID: 33593941

18. Kundu, Rhia, et al. Selil T memwa kwa-reyaktif asosye ak pwoteksyon kont enfeksyon SARS-CoV-2 nan kontak COVID-19. Nature Communications 13.1 (2022): 1–8. https://doi.org/10.1038/s41467- 021-27674-x PMID: 35013199

19. Brauer F, Castillo-Chavez C, Feng Z. modèl matematik nan epidemyoloji. Springer; 2019.

20. Walker PG, Whittaker C, Watson OJ, Baguelin M, Winskill P, Hamlet A, et al. Enpak COVID-19 ak estrateji pou alèjman ak represyon nan peyi ki gen revni ba ak mwayen yo. Syans. 2020. https://doi.org/10.1126/science.abc0035 PMID: 32532802

21. Sjo¨din H, Johansson AF, Bra¨nnstro¨m Å, Farooq Z, Kriit HK, Wilder-Smith A, et al. COVID-19 demann swen sante ak mòtalite nan Sweden an repons a senaryo mitigasyon ak repwesyon ki pa pharmaceutique. Jounal entènasyonal epidemyoloji. 2020. https://doi.org/10.1093/ije/dyaa121 PMID: 32954400

22. Hassan Md Nazmul, et al. Modeling matematik ak Covid-19 Previzyon nan Texas, USA: yon analiz modèl prediksyon ak pwobabilite pou epidemi maladi. Medsin pou katastwòf ak preparasyon pou sante piblik (2021): 1–12. https://doi.org/10.1017/dmp.2021.151 PMID: 34006346

23. Mahmud Md Shahriar, et al. Efikasite vaksen ak kontwòl sars-cov-2 nan Kalifòni ak nou pandan sesyon an 2020-2026: Yon etid modèl. Modeling Maladi Enfektye 7.1 (2022): 62-81. https://doi.org/10. 1016/j.idm.2021.11.002 PMID: 34869959

24. Gudbjartsson DF, Norddahl GL, Melsted P, Gunnarsdottir K, Holm H, Eythorsson E, et al. Repons iminitè iminitè a SARS-CoV-2 nan Islann. New England Journal of Medsin. 2020; 383(18):1724– 1734. https://doi.org/10.1056/NEJMoa2026116 PMID: 32871063

25. Dan JM, Mateus J, Kato Y, Hastie KM, Yu ED, Faliti CE, et al. Memwa iminolojik pou SARS-CoV-2 evalye pou jiska 8 mwa apre enfeksyon. Syans. 2021. https://doi.org/10.1126/science.abf4063 PMID: 33408181

26. Bred immunitet efter 9 månader. Danderyds lopital laprès. Adrès entènèt: www.ds.se/jobbahos-oss/mot-oss/bred-immunitet-efter-nio-manader/

27. Folkha¨lsmyndigheten. Påvisning av antikroppar efter genomgången COVID-19 i blodprov från o¨ppenvården.

28. Madewell ZJ, Yang Y, Longini IM, Halloran ME, Dean NE. Transmisyon nan kay nan SARS-CoV-2: yon revizyon sistematik ak meta-analiz. JAMA rezo louvri. 2020; 3(12):e2031756–e2031756. https:// doi.org/10.1001/jamanetworkopen.2020.31756 PMID: 33315116

29. Ferguson N, Laydon D, Nedjati-Gilani G, Imai N, Ainslie K, Baguelin M, et al. Rapò 9: Enpak entèvansyon ki pa famasetik (NPI) pou diminye mòtalite COVID-19 ak demann swen sante. Imperial College London. 2020; 10(77482):491–497.

30. Carlsson M, Hatem G, Soderberg-Naucle´r C. Modèl matematik sijere iminite ki te deja egziste kont SARS-CoV-2. medRxiv. 2021.

31. Doshi P. Covid-19: Èske gen anpil moun ki gen iminite ki deja egziste? Bmj. 2020; 370. PMID: 32943427

32. Jones TC, Biele G, Mu¨hlemann B, Veith T, Schneider J, Beheim-Schwarzbach J, et al. Estimasyon enfeksyon pandan tout kou enfeksyon SARS-CoV-2. Syans. 2021. https://doi.org/10.1126/science. abi5273 PMID: 34035154

33. Fine P, Eames K, Heymann DL. "Iminite bann mouton": yon gid ki graj. Maladi enfeksyon klinik. 2011; 52 (7):911–916. https://doi.org/10.1093/cid/cir007 PMID: 21427399